rydotの呟''

プログラミングとかCGとかDTMとか適当にいろいろのことを適度にやる気なく綴るはず。

オフセット曲面の方向微分

オフセット曲面のUV方向微分を求める。

表記

以下のように表記する。
内積  A \cdot B
外積  A \times B
曲線  C = C(t)
曲線の微分  C^\prime = \frac{{\mathrm d}C}{{\mathrm d}t}(t)
曲面  S = S(u,v)
曲面のU方向微分  S_u=\frac{\partial S}{\partial u}(u,v)
曲面のV方向微分  S_v=\frac{\partial S}{\partial v}(u,v)

正規化法線ベクトルのUV方向微分

法線ベクトル  N_0= S_u \times S_v
法線ベクトルのU方向微分  N_{0u}=S_{uu} \times S_v + S_u \times S_{uv}
法線ベクトルのV方向微分  N_{0v}=S_{uv} \times S_v + S_u \times S_{vv}
法線ベクトルの長さ  l = \sqrt{N_0 \cdot N_0}
正規化法線ベクトル  N = \frac{N_0}{l}
正規化法線ベクトルのU方向微分  N_u = \frac{1}{l} N_{0u} - \frac{N_0 \cdot N_{0u}}{l^3} N_0
正規化法線ベクトルのV方向微分  N_v = \frac{1}{l} N_{0v} - \frac{N_0 \cdot N_{0v}}{l^3} N_0

オフセット曲面のUV方向微分

オフセット量  rとする。
オフセット曲面  R = S + r N
オフセット曲面のU方向微分  R_u = S_u + r N_u
オフセット曲面のU方向微分  R_v = S_v + r N_v