2015-03-29 交線追跡法 メモ 微分幾何学 曲面と曲面の交線を求める。 (光線追跡法(ray tracing)ではない。) 曲面と平面の交線 交線は曲面上のパラメータとする。 曲面と平面の幾何的な関係から微分方程式を立てて求める。曲面 平面 交線 実際の交線 平面は陰関数表現とし、 : 法線ベクトル : 通過点 である。曲面上のパラメータとして、ある交点 を考える。 曲面と平面の式に代入すると、 である。 交線のパラメータで微分する。 分解して、以下の微分方程式が得られる。 (uとvの添字がひっくり返っているのが正しい。) 符号は交線をどちら向きに追跡するかに相当する。 線長パラメータ パラメータを線長パラメータで正規化すると扱いやすい。 実交線のパラメータでの微分は であるので、これを用いて交線を正規化する。 線長パラメータでの微分をと表記している。 分母のルートの中身は第1基本形式である。展開すると以下のようになる。 はそれぞれ以下の通りである。 曲面と曲面の交線 TODO